控制相关线性系统理论

2020-03-23

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第三章-线性系统的运动分析

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1. 1. 运动分析的数学实质
2. 2. 零输入响应和零初态响应的定义
3. 3. 连续时间线性时不变系统的运动分析
4. 4. 连续时间线性时不变系统的状态转移矩阵
1. 4.1. 4.1. 基本解阵
  1. 4.1.1. 4.1.1. 基本解阵的一种形式
2. 4.2. 4.2. 状态转移矩阵
5. 5. 连续时间线性时不变系统的脉冲响应矩阵
6. 6. 连续时间线性[时变]系统的状态转移矩阵
7. 7. 连续时间线性[时变]系统的离散化形式
8. 8. 连续时间线性[时不变]系统的离散化形式
1. 8.1. 8.1. 例子
2. 8.2. 8.2. 状态转移矩阵$\Phi$

1. 运动分析的数学实质

线性系统的状态方程为:

数学实质是:

相对于给定的初始状态$x_0$和外部输入$u$，求解出状态方程的解$x(t)$，即由初始状态和外输入作用所引起的状态响应。

2. 零输入响应和零初态响应的定义

利用线性系统的叠加原理，可以把系统在初始状态和输入控制向量作用下的运动分解为:

(1) 由初始状态引起的自由运动
(2) 输入作用引起的强迫运动

2.1. 零输入响应

2.2. 零初态响应

2.3. 系统总的运动响应

3. 连续时间线性时不变系统的运动分析

3.1. 前提内容——矩阵指数函数的计算

关于nxn的矩阵A的矩阵指数函数定义如下:

上面的三角等于号应该是等于号

3.1.1. 方法一:定义法

直接利用矩阵指数函数的定义式计算,即

3.1.1.1. 矩阵A为对角线矩阵

3.1.1.2. 矩阵A为零幂矩阵

零幂矩阵：即自乘若干次后化成零矩阵

推广到N阶方阵

3.1.1.3. 矩阵A具有类似反对称形式

举例:

3.1.2. 方法二:特征值法

3.1.2.1. 矩阵A特征值两两互异

对矩阵A进行特征值分解，得到$A=P\Lambda P^{-1}$，其中$P=[v_1 , v_2 ,\cdots , v_n]$是由特征向量(列向量)组合得到的.

因此，关于矩阵A的矩阵指数为:

举例:

3.1.2.2. 矩阵A的特征值有重根时

回顾约旦规范型$J=Q^{-1}AQ \Longrightarrow A=QJQ^{-1}$，因此，矩阵A的矩阵指数为:

例子:

3.1.3. 方法三:有限项展开法

利用凯莱哈密顿定理(Cayley—Hamilton)化$e^{At}$为A的有限项

关于凯莱哈密顿定理的使用:

对$e^{At}$使用凯莱哈密顿定理，可得:

\[ e^{At}=\alpha_0(t)I+\alpha_1(t)A+\cdots+\alpha_{n-1}(t)A^{n-1} \]

即问题转换为求解这些$\alpha$的值

3.1.3.1. 情况1: 矩阵A的特征值互异

$\alpha$求解结果如下:

3.1.3.2. 情况2: 矩阵A有重根(n重特征值$\lambda_1$)

$\alpha$求解结果如下:

3.1.4. 方法四:预解矩阵法(拉氏反变换法)[好用]

对于给定的nxn常矩阵A，其指数函数满足:

例子:

3.1.5. 矩阵指数函数性质

$\lim_{t \rightarrow 0} e^{At}=I$
$(e^{At})^T=e^{A^Tt}$
令$t$和$\tau$为两个自变量，则$e^{A(t+\tau)}=e^{At}\cdot e^{A\tau}=e^{A\tau}\cdot e^{At}$
$(e^{At})^{-1}=e^{-At}$
设有$n\times n$常矩阵A和F，如果A和F是可交换的(即$AF=FA$)，则有:$e^{(A+F)t}=e^{At}\cdot e^{Ft}=e^{Ft}\cdot e^{At}$
$\frac{d}{dt}e^{At}=Ae^{At}=e^{At}A$
$(e^{At})^m=e^{A(mt)}$

3.2. 求解系统状态的零输入响应

输入u = 0时,线性定常系统的状态方程:

称为齐次状态方程。求线性定常系统的零输入响应,其实就是求该齐次状态方程的解

对上述微分方程进行求解，可得:

由状态方程$\dot{x}=Ax$ 且 $x(0)=x_0$，当$t\geq0$时，零输入响应为:

由状态方程$\dot{x}=Ax$ 且 $x(t_0)=x_0$，当$tt_0 , t_0 $时，零输入响应为:

零输入响应的形态
- 在给定初态下,系统的零输入响应即系统在自由运动下的轨迹仅由矩阵指数函数$e^{At}$决定
- 矩阵指数函数即系统矩阵A包含了零输入响应即自由运动形态的全部信息
零输入响应的几何特征
- $x(t)=e^{At}x_0$说明系统在t时刻的状态点几何上可由初始状态点x0经过线性变换$e^{At}$得到
- 零输入响应随时间t演化过程,几何上即为状态空间中由初始状态x0出发,经过各个时刻变换点x(ti)所构成的一条轨迹
零输入响应趋向平衡态x=0属性
- 在没有外部输入下,系统的响应应该最终趋向平衡态x=0
- 系统的零输入响应即自由运动轨迹趋于x=0的条件为: $\lim_{t \rightarrow \infty} e^{At}=0$