第三章-线性系统的运动分析

Catalogue
  1. 1. 1. 运动分析的数学实质
  2. 2. 2. 零输入响应和零初态响应的定义
    1. 2.1. 2.1. 零输入响应
    2. 2.2. 2.2. 零初态响应
    3. 2.3. 2.3. 系统总的运动响应
  3. 3. 3. 连续时间线性时不变系统的运动分析
    1. 3.1. 3.1. 前提内容——矩阵指数函数的计算
      1. 3.1.1. 3.1.1. 方法一:定义法
        1. 3.1.1.1. 3.1.1.1. 矩阵A为对角线矩阵
        2. 3.1.1.2. 3.1.1.2. 矩阵A为零幂矩阵
        3. 3.1.1.3. 3.1.1.3. 矩阵A具有类似反对称形式
      2. 3.1.2. 3.1.2. 方法二:特征值法
        1. 3.1.2.1. 3.1.2.1. 矩阵A特征值两两互异
        2. 3.1.2.2. 3.1.2.2. 矩阵A的特征值有重根时
      3. 3.1.3. 3.1.3. 方法三:有限项展开法
        1. 3.1.3.1. 3.1.3.1. 情况1: 矩阵A的特征值互异
        2. 3.1.3.2. 3.1.3.2. 情况2: 矩阵A有重根(n重特征值\(\lambda_1\))
      4. 3.1.4. 3.1.4. 方法四:预解矩阵法(拉氏反变换法)[好用]
      5. 3.1.5. 3.1.5. 矩阵指数函数性质
    2. 3.2. 3.2. 求解系统状态的零输入响应
    3. 3.3. 3.3. 求解系统状态的零初态响应
    4. 3.4. 3.4. 系统总的运动响应
  4. 4. 4. 连续时间线性时不变系统的状态转移矩阵
    1. 4.1. 4.1. 基本解阵
      1. 4.1.1. 4.1.1. 基本解阵的一种形式
    2. 4.2. 4.2. 状态转移矩阵
      1. 4.2.1. 4.2.1. 状态转移矩阵和基本解阵的关系()
      2. 4.2.2. 4.2.2. 状态转移矩阵的形式
      3. 4.2.3. 4.2.3. 状态转移矩阵用于零输入、零响应、全响应
      4. 4.2.4. 4.2.4. 求解状态响应
        1. 4.2.4.1. 4.2.4.1. 积分法
        2. 4.2.4.2. 4.2.4.2. 拉氏变换法
      5. 4.2.5. 4.2.5. 求解输出响应
        1. 4.2.5.1. 4.2.5.1. 例子
      6. 4.2.6. 4.2.6. 状态转移矩阵的性质
        1. 4.2.6.1. 4.2.6.1. \(\Phi(0)=I\)
        2. 4.2.6.2. 4.2.6.2. \(\dot{\Phi}(t)=A\Phi(t)=\Phi(t)A\)
        3. 4.2.6.3. 4.2.6.3. \(\Phi(t_1+t_2)=\Phi(t_1)\Phi(t_2)=\Phi(t_2)\Phi(t_1)\)
        4. 4.2.6.4. 4.2.6.4. \(\Phi^{-1}(t)=\Phi(-t),\Phi^{-1}(-t)=\Phi(t)\)
        5. 4.2.6.5. 4.2.6.5. \(\Phi(t_2-t_0)=\Phi(t_2-t_1)\Phi(t_1-t_0)\)
        6. 4.2.6.6. 4.2.6.6. \(\Phi(kt)=[\Phi(t)]^{k}\)
        7. 4.2.6.7. 4.2.6.7. \(A=\Phi(0)\)
        8. 4.2.6.8. 4.2.6.8. 其他
  5. 5. 5. 连续时间线性时不变系统的脉冲响应矩阵
    1. 5.1. 5.1. 脉冲函数
      1. 5.1.1. 5.1.1. 脉冲函数的定义
      2. 5.1.2. 5.1.2. 脉冲函数的性质
      3. 5.1.3. 5.1.3. 脉冲信号的意义
    2. 5.2. 5.2. 脉冲响应矩阵
      1. 5.2.1. 5.2.1. 单输入单输出系统
      2. 5.2.2. 5.2.2. 多输入多输出系统
    3. 5.3. 5.3. 脉冲响应矩阵和状态空间描述
      1. 5.3.1. 5.3.1. 一些结论
    4. 5.4. 5.4. 脉冲响应矩阵和传递函数矩阵
  6. 6. 6. 连续时间线性[时变]系统的状态转移矩阵
    1. 6.1. 6.1. 状态转移矩阵
    2. 6.2. 6.2. 基本解阵
    3. 6.3. 6.3. 状态转移矩阵和基本解阵的关系
    4. 6.4. 6.4. 状态转移矩阵\(\Phi(t,t_0)\)的形式
    5. 6.5. 6.5. 状态转移矩阵\(\Phi(t,t_0)\)的性质
    6. 6.6. 6.6. 连续时间线性[时变]系统的响应
      1. 6.6.1. 6.6.1. 状态响应
      2. 6.6.2. 6.6.2. 输出响应
  7. 7. 7. 连续时间线性[时变]系统的离散化形式
    1. 7.1. 7.1. 采样约定
    2. 7.2. 7.2. 基本结论
    3. 7.3. 7.3. 状态转移矩阵\(\Phi\)
  8. 8. 8. 连续时间线性[时不变]系统的离散化形式
    1. 8.1. 8.1. 例子
    2. 8.2. 8.2. 状态转移矩阵\(\Phi\)

1. 运动分析的数学实质

线性系统的状态方程为:

数学实质是:

相对于给定的初始状态\(x_0\)和外部输入\(u\),求解出状态方程的解\(x(t)\),即由初始状态和外输入作用所引起的状态响应。

2. 零输入响应和零初态响应的定义

利用线性系统的叠加原理,可以把系统在初始状态和输入控制向量作用下的运动分解为:

  • (1) 由初始状态引起的自由运动
  • (2) 输入作用引起的强迫运动

2.1. 零输入响应

2.2. 零初态响应

2.3. 系统总的运动响应

3. 连续时间线性时不变系统的运动分析

3.1. 前提内容——矩阵指数函数的计算

关于nxn的矩阵A的矩阵指数函数定义如下:

上面的三角等于号应该是等于号

3.1.1. 方法一:定义法

直接利用矩阵指数函数的定义式计算,即

3.1.1.1. 矩阵A为对角线矩阵

3.1.1.2. 矩阵A为零幂矩阵

零幂矩阵: 即自乘若干次后化成零矩阵

推广到N阶方阵

3.1.1.3. 矩阵A具有类似反对称形式

举例:

3.1.2. 方法二:特征值法

3.1.2.1. 矩阵A特征值两两互异

对矩阵A进行特征值分解,得到\(A=P\Lambda P^{-1}\),其中\(P=[v_1 , v_2 ,\cdots , v_n]\)是由特征向量(列向量)组合得到的.

因此,关于矩阵A的矩阵指数为:

举例:

3.1.2.2. 矩阵A的特征值有重根时

回顾约旦规范型\(J=Q^{-1}AQ \Longrightarrow A=QJQ^{-1}\),因此,矩阵A的矩阵指数为:

例子:

3.1.3. 方法三:有限项展开法

利用凯莱哈密顿定理(Cayley—Hamilton)化\(e^{At}\)为A的有限项

关于凯莱哈密顿定理的使用:

\(e^{At}\)使用凯莱哈密顿定理,可得:

\[ e^{At}=\alpha_0(t)I+\alpha_1(t)A+\cdots+\alpha_{n-1}(t)A^{n-1} \]

即问题转换为求解这些\(\alpha\)的值

3.1.3.1. 情况1: 矩阵A的特征值互异

\(\alpha\)求解结果如下:

3.1.3.2. 情况2: 矩阵A有重根(n重特征值\(\lambda_1\))

\(\alpha\)求解结果如下:

3.1.4. 方法四:预解矩阵法(拉氏反变换法)[好用]

对于给定的nxn常矩阵A,其指数函数满足:

例子:

3.1.5. 矩阵指数函数性质

  • \(\lim_{t \rightarrow 0} e^{At}=I\)
  • \((e^{At})^T=e^{A^Tt}\)
  • \(t\)\(\tau\)为两个自变量,则\(e^{A(t+\tau)}=e^{At}\cdot e^{A\tau}=e^{A\tau}\cdot e^{At}\)
  • \((e^{At})^{-1}=e^{-At}\)
  • 设有\(n\times n\)常矩阵A和F,如果A和F是可交换的(即\(AF=FA\)),则有:\(e^{(A+F)t}=e^{At}\cdot e^{Ft}=e^{Ft}\cdot e^{At}\)
  • \(\frac{d}{dt}e^{At}=Ae^{At}=e^{At}A\)
  • \((e^{At})^m=e^{A(mt)}\)

3.2. 求解系统状态的零输入响应

输入u = 0时,线性定常系统的状态方程:

称为齐次状态方程。求线性定常系统的零输入响应,其实就是求该齐次状态方程的解

对上述微分方程进行求解,可得:

由状态方程\(\dot{x}=Ax\)\(x(0)=x_0\),当\(t\geq0\)时,零输入响应为:

由状态方程\(\dot{x}=Ax\)\(x(t_0)=x_0\),当$tt_0 , t_0 $时,零输入响应为:

  • 零输入响应的形态
    • 在给定初态下,系统的零输入响应即系统在自由运动下的轨迹仅由矩阵指数函数\(e^{At}\)决定
    • 矩阵指数函数即系统矩阵A包含了零输入响应即自由运动形态的全部信息
  • 零输入响应的几何特征
    • \(x(t)=e^{At}x_0\)说明系统在t时刻的状态点几何上可由初始状态点x0经过线性变换\(e^{At}\)得到
    • 零输入响应随时间t演化过程,几何上即为状态空间中由初始状态x0出发,经过各个时刻变换点x(ti)所构成的一条轨迹
  • 零输入响应趋向平衡态x=0属性
    • 在没有外部输入下,系统的响应应该最终趋向平衡态x=0
    • 系统的零输入响应即自由运动轨迹趋于x=0的条件为: \(\lim_{t \rightarrow \infty} e^{At}=0\)

3.3. 求解系统状态的零初态响应

由状态方程\(\dot{x}=Ax+Bu\)\(x(0)=x_0\)\(t\geq0\)时,所描述的线性定常系统的零状态响应为:

由状态方程\(\dot{x}=Ax+Bu\)\(x(t_0)=x_0\),$tt_0 , t_0 $时,所描述的线性定常系统的零状态响应为:

例子:

3.4. 系统总的运动响应

4. 连续时间线性时不变系统的状态转移矩阵

4.1. 基本解阵

4.1.1. 基本解阵的一种形式

对于方程\(\dot{x}=Ax+Bu,~~ x(t_0)=x_0 ,~~ t\geq t_0\),,一个可能的基本解阵的形式如下:

4.2. 状态转移矩阵

对于给定的线性定常系统

写出矩阵微分方程:

状态转移矩阵即为上面这个矩阵微分方程的\(n\times n\)解阵

状态转移矩阵是\(\Phi(t-t_0)\)

  • 状态转移矩阵\(\Phi(t-t_0)\)\(t_0\)\(t\)的时间间隔相关,与具体时刻大小无关
  • 状态转移矩阵\(\Phi(0)=I\),说明在初始\(t_0\)时刻,没有任何的状态转移

4.2.1. 状态转移矩阵和基本解阵的关系()

4.2.2. 状态转移矩阵的形式

对于线性定常系统来说,它的状态转移矩阵就是矩阵指数函数,即

需要注意的是\(\Phi(t-t_0)\)是唯一确定的,尽管基础解阵\(\Psi\)不是唯一的,即:

4.2.3. 状态转移矩阵用于零输入、零响应、全响应

根据上面状态转移矩阵的形式的讨论,可以得到状态转移矩阵用于零输入、零响应、全响应的关系

对于线性定常系统:

\[ \dot{x}=Ax+Bu,~~~x(t_0)=x_0,~~~t\geq t_0 \]

(1)零输入响应

(2)零状态响应

(3)全响应

4.2.4. 求解状态响应

4.2.4.1. 积分法

  • 先求出状态转移矩阵\(\Phi(t)=e^{At}\)
  • 在利用定义计算

4.2.4.2. 拉氏变换法

  • 不需要单独求状态转移矩阵\(\Phi(t)=e^{At}\)
  • 一步到位

结果:

来由:

4.2.5. 求解输出响应

4.2.5.1. 例子

(1)使用积分法先求状态响应\(x(t)\),再求输出响应

(2)使用拉氏变换法先求状态响应\(x(t)\),再求输出响应

4.2.6. 状态转移矩阵的性质

4.2.6.1. \(\Phi(0)=I\)

4.2.6.2. \(\dot{\Phi}(t)=A\Phi(t)=\Phi(t)A\)

4.2.6.3. \(\Phi(t_1+t_2)=\Phi(t_1)\Phi(t_2)=\Phi(t_2)\Phi(t_1)\)

4.2.6.4. \(\Phi^{-1}(t)=\Phi(-t),\Phi^{-1}(-t)=\Phi(t)\)

4.2.6.5. \(\Phi(t_2-t_0)=\Phi(t_2-t_1)\Phi(t_1-t_0)\)

4.2.6.6. \(\Phi(kt)=[\Phi(t)]^{k}\)

4.2.6.7. \(A=\Phi(0)\)

4.2.6.8. 其他

  • \(\frac{d}{dt}\Phi(t-t_0)=A\Phi(t-t_0)=\Phi(t-t_0)A\)
  • \(\frac{d}{dt}\Phi^{-1}(t-t_0)=-A\Phi(t-t_0)=-\Phi(t-t_0)A\)

5. 连续时间线性时不变系统的脉冲响应矩阵

5.1. 脉冲函数

5.1.1. 脉冲函数的定义

5.1.2. 脉冲函数的性质

5.1.3. 脉冲信号的意义

5.2. 脉冲响应矩阵

5.2.1. 单输入单输出系统

对单输入单输出的连续时间线性时不变系统,在初始状态为零的条件下,在任意输入u作用下,系统的输出y(t)可表示为:

其中,\(h(t-\tau)\)为对应与\(\delta(t-\tau)\)的脉冲响应

也就是信号与系统里面的: 零状态响应=脉冲函数\(\otimes\)输入

5.2.2. 多输入多输出系统

对多输入多输出的连续时间线性时不变系统,在初始状态为零的条件下,在任意输入u作用下,系统的输出y(t)可表示为:

5.3. 脉冲响应矩阵和状态空间描述

对连续时间线性时不变系统:

初始状态为0的条件下,系统脉冲响应矩阵表达式为:

推导如下:

5.3.1. 一些结论

(1)输出零输入响应:

(1)输出零状态响应:

注意与状态的零状态\(x_{0u}\)、零输入响应\(x_{0x}\)的区分

5.4. 脉冲响应矩阵和传递函数矩阵

6. 连续时间线性[时变]系统的状态转移矩阵

6.1. 状态转移矩阵

对于连续时间线性时变系统:

其状态转移矩阵为:

\(n\times n\)解阵,即\(\Phi(t,t_0)\)

6.2. 基本解阵

6.3. 状态转移矩阵和基本解阵的关系

6.4. 状态转移矩阵\(\Phi(t,t_0)\)的形式

对于连续时间线性时变系统:

其状态转移矩阵为:

6.5. 状态转移矩阵\(\Phi(t,t_0)\)的性质

6.6. 连续时间线性[时变]系统的响应

6.6.1. 状态响应

线性时变系统的系统状态方程:

方程的解即为状态响应

6.6.2. 输出响应

线性时变系统的状态空间描述和初始状态为:

并且有状态响应的表达式:

可得系统的输出响应:

7. 连续时间线性[时变]系统的离散化形式

7.1. 采样约定

7.2. 基本结论

给定连续时间线性时变系统:

则其在基本约定下的时间离散化描述为:

其中,

7.3. 状态转移矩阵\(\Phi\)

对离散时间线性时变系统:

8. 连续时间线性[时不变]系统的离散化形式

对于线性时不变系统,可以看做是时变系统的特例:

\[ \begin{aligned} \dot{x}=Ax+Bu \\ y=Cx+Du \end{aligned} \]

系统矩阵G可以写成如下形式:

8.1. 例子

8.2. 状态转移矩阵\(\Phi\)

对离散时间线性时不变系统:

状态转移矩阵\(\Phi\)具有如下形式:

为什么是\(G^{k}\)? 可参见下面的补充内容

"由于时不变系统的系统矩阵G是常数,那么每迭代一次,就对初始状态\(x(0)\)乘一次G,那么最终的状态转移矩阵就是\(G^{k}\)"

补充: