1. 向量空间
向量空间又称线性空间，是线性代数的中心内容和基本概念之一。
1.1. 向量张成的空间
如果几个向量的线性组合在某一个向量空间中，并且该向量空间仅包括这几个向量的线性组合，那么这个向量空间就叫做这几个向量张成的空间。简单地说，N个向量张成的空间就是N个向量的线性组合
2. 子空间
设V是\(R^n\)的一个非空子集，若V中的任意N个向量的线性组合依然属于V，则称V是\(R^n\)的一个线性子空间，简称子空间。
根据概念，如果V是\(R^n\)的线性子空间，则V一定满足三个条件
- 包含0向量
- 若x是V中的一个向量，那么x与一个变量的乘积\(nx\)也在线性子空间V中——数乘封闭性
- 若a，b是V中的两个向量，那么a+b也在线性子空间V中——加法封闭性
例子: 下面的V是否是\(R^2\)的子空间？
可以通过分量的取值范围得知，V是直角坐标系的一、四象限：
- 由于a1+a2 ≥ 0，所以满足加法封闭性。
- 检验数乘封闭性: 当标量为负数时，得到的结果\(-x\)，超越了第一、四象限，不在这个子空间V中，不满足数乘封闭性
- 因此，V不是\(R^2\)的子空间
3. 零空间
A是\(m\times n\)矩阵，x是列向量，如果存在向量集合N，满足
\[ N=\{x \in R^n | Ax =0 \} \]
则称N是矩阵A的零空间
3.1. 零空间与"Ax=0"
可知，零空间是方程Ax = 0的所有解的集合，也就是说，零空间就是方程Ax=0的解向量所张成的空间
检验零空间是否是\(R^n\)的子空间，即检验
- 加法封闭性
满足
- 数乘封闭性
满足
所以零空间也是\(R^n\)的子空间
3.2. 找出零空间
就是解\(Ax=0\)，得到解向量，所张成的空间呗
3.2.1. 例子1
只需求解方程组就可以了，方法之一是将A化为行最简阶梯矩阵:
为了求解方便，我们的目标是让方程组的未知数尽量少，所以还可以进一步化简，让台角上方全为0:
将行最简阶梯矩阵转换为方程组
两个方程，四个未知数，那么解向量的个数为\(n-r(A)=4-2=2\)，该零空间是由两个向量张成的空间:
x3，x4可以是任意实数，a，b是线性无关的，所以A的零空间就是a和b张成的空间
3.2.2. 例子2
3.3. 零空间与线性无关
3.3.1. 线性相关与线性无关
3.3.2. 线性无关矩阵的零空间只包含零向量
\(A_{m\times n}\)由n个列向量组成，那么Ax即表示了对n个列向量的线性组合，即:
如果A是线性无关的，意味着方程组只有一个全零解，或者说，这个方程的解集是A的零空间，并且这个零空间只包含零向量，即上面列向量的系数(状态)\(\{x_1,x_2,x_3\cdots\}\)全为0
结果:
- 当A是满秩方阵或列满秩的长方矩阵时，A的零空间只有零向量（仅仅是行满秩时就不一定了）
- 当一个矩阵的零空间只有零向量时，说明该矩阵的列向量线性无关
4. 列空间
如果A是\(m\times n\)的矩阵，那么A的列空间是A中所有列向量张成的空间。A的列空间用C(A)表示
4.1. 列空间与"Ax=b"
如果有方程:
\[ Ax=b \]
- 如果b在矩阵A的列空间中(即b可以使用Ax来表示(x不全为0))，此时Ax = b有解
- b不在A的列空间中，Ax = b无解